Sakız Adası'nda doğdu. İstanbul Üniversitesi Dişçilik bölümünü bitirdi. Mesleği dışında müzik ve siyasetle ilgilendi. 1942-46 arasında Bursa belediye başkını idi.  CHP il teşkilatının sevilen isimlerindendi. 17.12.1949'da CHP il kongresinde idare kurulu için yapılan seçimde en fazla oyu (78 oy) alması bunu gösterir. Bursa Belediye iken Belediye Müzikevi'ni ve Sanat Galerisini açtı, otobüs işletmesini kurdu. Kültürpark için arazi kamulaştırmalarını başlattı. Az düzeyde Fransızca bilirdi. Kızılay Bursa Şube Başkanı, Bursa ve Bilecik Tabip Odası Haysiyet Divanı Üyesi idi. Atatürk'ün Şubat 1938'deki son Bursa gezisinde belediye adına teşekkür ziyareti yapan kurulda yer aldı. Şahsi arabası Bursa Kent Müzesi girişinde sergilenmekte.

                        

          “Bursa Belediye Reisi ile Bir Konuşma”, (Vakit gazetesi, 19.02.1944, s.5).
    " Savaş yıllarında artan talebin beraberinde getirdiği %75 oranındaki fiyat artışlarına rağmen Bursa ve Yalova kaplıcaları ve otelleri revaçta olmuş, doluluk nedeniyle buralarda açıkta kalan turistler görülmüştür. Bursa Belediye Reisi Edip Rüştü Akyürek bu dönemde Vakit gazetesi muhabirine verdiği bir demeçte; seyyah şehri olarak tanınan Bursa’nın turizm imkânlarını savaş şartları içinde ele almak gerektiğini, bu suretle modern bir banyo şehri kurmanın zor olmakla birlikte mevcut kaplıcaların ıslah edilme imkânlarının değerlendirildiğini, yine bu şartlar içinde Bursa’da daha ucuz ulaşım ve konaklama imkânlarının sağlandığını belirtmiştir".

    Akyürek söz konusu ropörtaj sırasında ayrıca şehirde iyi bir bando ve orkestra oluşturmak, caz müziğe yer vermek, Ahmet Vefik Paşa’nın kültürel mirasından yararlanmak suretiyle şehir tiyatrosu oluşturmak ve bir resim-heykel galerisi açmak gibi turizme hizmet edecek kısa vadeli hedeflerinden bahsetmiştir.

    Gazeteci, tarihçi İsmet Bozdağ, sonraki yıllarda kaleme aldığı bir yazısında, 1946 yılı belediye seçimleri sonucunda belediye eski başkanı Edip Rüştü Akyürek’in kolay kolay yönlendirilemeyeceğini düşünen vali Haşim İşcan tarafından istenmediğini ve bu nedenle de, başkan seçim sırasında oy sayımına müdahalede bulunarak, Edip Rüştü Akyürek’i tekrar başkanlık koltuğuna oturmadığını beyan etmiştir. (İsmet Bozdağ, “Adaylarımız”, Hakimiyet, 22 Ağustos 1951).
     1950'de genel seçimi Demokrat Parti’nin kazanması üzerine Bursa’da il başkanı görevden alındı, yerine son il kongresinde en çok oyu alan Edip Rüştü getirildi. Akyürek, Cumhuriyet Halk Partisi’nin muhalefet yıllarında bu görevinde en uzun süre kalan il başkanı olmuştur. Akyürek, sakin ve uzlaşmacı bir karakter yapısına sahip olmasıyla, muhalefet döneminde demokratların kalesi olarak nitelendirilen Bursa’da siyasi atmosferin sert ve gergin bir duruma gelmesine görevi boyunca müsaade etmeyecektir. Yaptıklarıyla siyasi rakiplerinin de saygısını kazanan Akyürek’e yönelik olarak Demokrat Parti Bursa teşkilatı adına İsmet Bozdağ şu ifadelerde bulunur: “Edip Rüştü Akyürek, Halk Partisi il başkanlığını çok nazik, kritik ve erimeye müsait bulunduğu bir sırada almış ve partinin içinde genç ve idealist unsurları kademelerde vazifelere getirerek adeta mukadder gibi görünen kısmi iç çöküntüyü enerjisi, devamlı mesaisi ile bertaraf etmişti. Memleket menfaatlerini koruyucu bir muhalefet örneğini vererek çalışıyordu”. Akyürek, Aralık 1952 il kongresinde il başkanlığı görevini Sıddık Tümerkan’a bıraktı. Seçimlerden kısa bir süre önce Mart 1954'deki kongrede tekrar il başkanlığına dönen Akyürek, 1959 yılında kendi isteğiyle görevinden ayrıldı. 1961-65 arasında Bursa millekvekilliği yaptı.

   Erkek kardeşi Hayri Akyürek (1915-1984) orta ve lise öğrenimini Bursa'da tamamladı. İstanbul Üniversitesi Tıp Fakültesi'nden mezun olduktan sonra iç hastalıklar uzmanı oldu. Bursa'da hastanelerde çalıştı ve serbest hekimlik yaptı. Mesleği dışında müzikle uğraştı ve pul koleksiyonu yaptı. Ayrıca edebiyat çevirilire yaptı.

Hayri Rüştü Akyürek'in Guy de Maupassant'dan yaptığı bir çeviri. Çeviriyi ithaf ettiği Erkek Lisesi Fransızca hocalarından Hasan Nevres bey alttaki fotoğrafta işaretli olan.

 Yararlanılan kaynaklar: Bursa Yerelinde CHP (1946-60), Fevzi Çakmak, Nilüfer Belediyesi yayını (2014)